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La commande limite de Xcas donne la limite d’une suite losqu’elle existe !
La commande seqsolve de Xcas donne la valeur d’une suite 
récurrente de la forme un+1=f(un) ou un+2=f(,un,un+1,...) ou 
d’un système de suites récurrentes.
Par exemple :
Pour trouver la limite quand n tend vers +∞ de la suite un 
définie par :
un=∑p=1n1/n+p, on tape :
limite(sum(1/((n+p)),p=1..n),n,inf)
On obtient :
ln(2)
Pour trouver la valeur de la suite un définie par :
un+2=un+2un+1+n+1 u0=0, u1=1, on tape :
seqsolve(x+2*y+n+1,[x,y,n],[0,1])
On obtient :
(-4*n-(sqrt(2)+1)^n*(-sqrt(2)*3-2)-(-(sqrt(2))+1)^n*(sqrt(2)*3-2)-4)/8
Pour trouver la valeur des suite un et vn définies par :
un+1=un+2vn, vn+1=un+n+1 u0=0, v0=1, on tape :
seqsolve([x+2*y,n+1+x],[x,y,n],[0,1])
On obtient :
[(-2*n-(-1)^n+2^n*4-3)/2,((-1)^n+2*2^n-1)/2]
Exercices
- 
Soient an, et bn les suites définies par :
 a0, b0 ((a0,b0)≠ (0,0)),
 an+1=an/an2+bn2,
 bn+1=bn/an2+bn2,
 Calculer les 4 premiers termes de ces suites pour a0=a, b0=b,
 On utilise le tableur pour avoir les valeurs des termes de ces suites.
 On tape pour :
 A0 1 (ou a)
 B0 3 (ou b)
 A1 =simplfy(A0/(A0^2+B0^2))
 B1 =simplfy(B0/(A0^2+B0^2))
 Puis on remplit vers le bas.
On obtient commes valeurs dans la colonne A :
 a, a/(a^2+b^2), a, a/(a^2+b^2) ...
 On obtient commes valeurs dans la colonne B :
 b, b/(a^2+b^2), b, b/(a^2+b^2) ...
 Soit la fonction de ℝ2 dans ℝ2 :
 g(x,y)=(x/(x2+y2),y/(x2+y2))
Montrons avec Xcas que g∘ g=id
 On tape :
 g(x,y):=(x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2))
 simplify((g@g)(x,y))
 On obtient :
 x,y
 La fonction g transforme un vecteur V de ℝ2 en W=V/norm(V)2.
On a norm(W)=1/norm(V) donc g transforme W en W/norm(W)2=V.
- Soient an, bn, et cn les suites définies par :
 a0=1, b0=3 et c0=8,
 an+1=1/2(bn+cn),
 bn+1=1/2(cn+an),
 cn+1=1/2(an+bn),
 Calculer les 4 premiers termes de ces suites,
 Montrer que an+bn+cn est constant.
 Exprimer an+1−bn+1 en fonction de an−bn,
 Montrer que pour n≥ 1, 2an+1=an+an−1.
 En déduire une expression de an, bn, et cn en fonction de n.
 Étudier la convergence de an, bn, et cn.
 On peut faire le calcul des 4 premiers termes avec le tableur, on obtient :
A:=(1,11/2,13/4,35/8,61/16) pour les premiers termes de an,
 B:=(3,9/2,15/4,33/8,63/16) pour les premiers termes de bn,
 C:=(8,2,5,7/2,17/4) pour les premiers termes de cn,
 On tape :
 [A]+[B]+[C]
 On obtient :
 [12,12,12,12,12]
 On a :
 an+1+bn+1+cn+1=1/2(bn+cn+cn+an+an+bn)=an+bn+cn
Donc on montre par récurrence que an+bn+cn=12
On a :
 an+1−bn+1=1/2(bn−an)=−1/2(an−bn)
 2an+1=bn+cn=an−1+1/2(bn−1+cn−1)=an−1+an
 Donc on peut définir an par :
 a0=1,a1=11/2 et la relation de récurrence 2an+1=an+an−1.
 L’ensemble E des suites réelles u qui vérifient la relation de 
récurrence :
 2un+1=un+un−1 pour n>0
 forment un espace vectoriel sur ℝ de dimension 2.
 En effet E est un espace vectoriel sur ℝ et l’application :
 f de E dans ℝ2 qui à u∈ E fait correspondre (u0,u1) est un 
isomorphisme d’espaces vectoriels.
 On cherche les progressions géométriques un=u0rn qui vérifient :
 2un+1=un+un−1 ont pour raison r=1 ou r=−1/2 donc
 an=α+β(−1/2)n avec :
 α+β=1 et α−β/2=11/2
 On tape :
 solve([x+y=1,x-y/2=11/2],[x,y])
 On obtient :
 [[4,-3]]
 Donc an=4−3(−1/2)n
De même :
 bn=α+β(−1/2)n avec :
 α+β=3 et α−β/2=19/2
 On tape :
 solve([x+y=3,x-y/2=9/2],[x,y])
 On obtient :
 [[4,-1]]
 Donc bn=4−(−1/2)n
et,
 cn=α+β(−1/2)n avec :
 α+β=8 et α−β/2=2
 On tape :
 solve([x+y=8,x-y/2=2],[x,y])
 On obtient :
 [[4,4]]
 Donc cn=4+4(−1/2)n
On vérifie, on tape :
 seqsolve([(b+c)/2,(c+a)/2,(a+b)/2],[a,b,c,n],[1,3,8])
 On obtient :
 [-3*(-1/2)^n+4,-(-1/2)^n+4,4*(-1/2)^n+4]
 Quand n tend vers +∞ on a (−1/2)n tend vers 0 donc :
 an tend vers 4 quand n tend vers +∞
 bn tend vers 4 quand n tend vers +∞
 cn tend vers 4 quand n tend vers +∞
Prolongement : cas général
Soient an, bn, et cn les suites définies par :
 a0, b0 et c0,
 an+1=1/2(bn+cn),
 bn+1=1/2(cn+an),
 cn+1=1/2(an+bn),
 On a toujours :
 an+1+bn+1+cn+1=1/2(bn+cn+cn+an+an+bn)=an+bn+cn
Donc :
 an+bn+cn=a0+b0+c0
On a toujours :
 an+1−bn+1=1/2(bn−an)=−1/2(an−bn)
 2an+1=bn+cn=an−1+1/2(bn−1+cn−1)=an−1+an
 Donc an est définie par :
 2an+1=an−1+an et a0 et a1=1/2(b0+c0)
 Donc :
 an=α+β(−1/2)n avec :
 α+β=a0 et α−β/2=1/2(b0+c0)
 On tape :
 solve([x+y=a0,x-y/2=1/2*(b0+c0)],[x,y])
 On obtient :
 [[a0/3+b0/3+c0/3,2*a0/3-b0/3-c0/3]]
 Donc :
 an=−1/3(a0+b0+c0)+(2a0−b0−c0)(−1/2)n
bn=−1/3(a0+b0+c0)+(2b0−c0−ca0)(−1/2)n
cn=−1/3(a0+b0+c0)+(2c0−a0−b0)(−1/2)n
On vérifie, on tape :
 seqsolve([(b+c)/2,(c+a)/2,(a+b)/2],[a,b,c,n],[a0,b0,c0])
 On obtient :
 [(2*(-1/2)^n*a0+a0-(-1/2)^n*b0+b0-(-1/2)^n*c0+c0)/3, 
(-(-1/2)^n*a0+a0+2*(-1/2)^n*b0+b0-(-1/2)^n*c0+c0)/3,
(-(-1/2)^n*a0+a0-(-1/2)^n*b0+b0+2*(-1/2)^n*c0+c0)/3]
 On applique la commande factor et on obtient :
 [((2*a0-b0-c0)*(-1/2)^n+a0+b0+c0)/3,
((-a0+2*b0-c0)*(-1/2)^n+a0+b0+c0)/3,
((-a0-b0+2*c0)*(-1/2)^n+a0+b0+c0)/3]
- Soient an, bn, et cn les suites définies par :
 a0=1, b0=0 et c0=0,
 an+1=bn+cn,
 bn+1=cn+an,
 cn+1=an+bn,
 Calculer les 4 premiers termes de ces suites,
 Montrer que pour tout n bn=cn
 Calculer an+bn+cn.
 On a :
 an+1+bn+1+cn+1=(bn+cn+cn+an+an+bn)=2(an+bn+cn)
 donc:
 a1+b1+c1=2(a0+b0+c0)
 a2+b2+c2=2(a1+b1+c1)=22(a0+b0+c0)
 etc...
an+bn+cn=2n(a0+b0+c0)
On en déduit que :
 an=2n
bn+1=bn+2n
donc
 bn=2n−1+bn−1=2n−1+2n−2+bn−2=..=∑k=0n−12k=
Prolongement : cas général
Soient an, bn, et cn les suites définies par :
 a0, b0 et c0,
 an+1=bn+cn,
 bn+1=cn+an,
 cn+1=an+bn,
 On a toujours :
 an+1+bn+1+cn+1=bn+cn+cn+an+an+bn=2(an+bn+cn)
 Donc :
 an+bn+cn=2n(a0+b0+c0)
On n’a plus bn=cn mais
an+1−bn+1=bn−an=−(an−bn),
 Donc :
 an−bn=(−1)n(a0−b0),
 De même :
 an−cn=(−1)n(a0−c0),
 On a :
 an=1/3((an+bn+cn)+an−bn+an−cn)
 an=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(a0−b0)+(−1)n(a0−c0)
 Donc :
 an=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2a0−b0−c0)
 De même :
 bn=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2b0−c0−a0)
 cn=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2c0−b0−a0)
 On vérifie, on tape :
 seqsolve([b+c,c+a,a+b],[a,b,c,n],[a0,b0,c0])
 On obtient après avoir fait agir la commande factor :
 [((-b0-c0+2*a0)*(-1)^n+2^n*(b0+c0+a0))/3,
((-a0-c0+2*b0)*(-1)^n+2^n*(a0+c0+b0))/3,((-a0-b0+2*c0)*(-1)^n+2^n(a0+b0+c0))/3]
- Explicitez an, bn, et cn les suites définies par :
 a0, b0 et c0,
 an+1=an+cn,
 bn+1=bn+an,
 cn+1=cn+bn,
 On a toujours :
 an+1+bn+1+cn+1=an+cn+bn+an+cn+bn=2(an+bn+cn)
 Donc :
 an+bn+cn=2n(a0+b0+c0)
On a :
 an+1−cn+1+bn+1=2an
bn+1−an+1+cn+1=2bn
cn+1−bn+1+an+1=2cn
Malheureusement, on a moins de chances que dans l’exercice précédent...
 On va donc utiliser une solution matricielle.
 Soit :
 A:=[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]
On a :
 [an,bn,cn]=A^n*[a0,b0,c0]
 Il faut donc calculer An.
 On tape :
 P,B:=jordan(A)
 On obtient :
 [[1,sqrt(3)*(-i)-1,sqrt(3)*(i)-1],[1,sqrt(3)*(i)-1,sqrt(3)*(-i)-1],[1,2,2]],[[2,0,0],[0,(sqrt(3)*(i)+1)/2,0],[0,0,(sqrt(3)*(-i)+1)/2]]
 On tape :
 P1:=simplify(inv(P))
 On obtient :
 [[1/3,1/3,1/3],[((i)*sqrt(3)-1)/12,((-i)*sqrt(3)-1)/12,1/6],[((-i)*sqrt(3)-1)/12,((i)*sqrt(3)-1)/12,1/6]]
On tape :
 An:=factor(simplify(exp2trig(pow2exp(P*Bn*P1))))
 On obtient :
 [[(2^n+2*cos(n*pi/3))/3, (2^n-cos(n*pi/3)-sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^(n+1)-2*cos(n*pi/3)+sin(n*pi/3)*2*sqrt(3))/6],
 [(2^n-cos(n*pi/3)+sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^n+2*cos(n*pi/3))/3, (2^(n+1)-2*cos(n*pi/3)-2*sqrt(3)*sin(n*pi/3))/6],
 [(2^n-cos(n*pi/3)-sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^n-cos(n*pi/3)+sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^(n+1)+4*cos(n*pi/3))/6]]
 On tape :
 
 On obtient :
 
 On tape en mode complexe :
 simplify(exp2trig(pow2exp(seqsolve([x+z,y+x,z+y],[x,y,z,n],[a0,b0,c0]))))
 On obtient après avoir utilisé factor:
 ((a0+b0+c0)*2^n+cos(n*pi/3)*(2*a0-b0-c0)+sqrt(3)*sin(n*pi/3)*(-b0+c0))/3,
 ((a0+b0+c0)*2^n-cos(n*pi/3)*(a0-2*b0+c0)+sqrt(3)*(a0-c0)*sin(n*pi/3))/3
 ((a0+b0+c0)*2^n-cos(n*pi/3)*(a0+b0-2*c0)+sqrt(3)*(-a0+b0)*sin(n*pi/3))/3
 Si on pose :
 j=(sqrt(3)*(i)−1)/2 on a j2=(−sqrt(3)*(i)−1)/2.
 Donc :
 B=[[2,0,0],[0,−j2,0],[0,0,−j]]
 P=[[1,2j2,2j],[1,2j,2j2],[1,2,2]]
 P1=P−1
 On peux faire les calculs à la main.... :
 B:=[[2,0,0],[0,-j^2,0],[0,0,-j]]
 Bn:=matpow(B,n)
 Bn:=[[2^n,0,0],[0,(-j^2)^n,0],[0,0,(-j)^n]]
 P:=[[1,2j^2,2j],[1,2j,2j^2],[1,2,2]]
 P1:=[[1/3,1/3,1/3],[j/6,j^2/6,1/6],[j^2/6,j/6,1/6]]
 An:=P*Bn*P1
 On obtient pour An après simplification à la main :
 [[u(n),w(n),v(n)],[v(n),u(n),w(n)],[w(n),v(n),u(n)]]
 avec :
 u(n):=1/3*(2^n+(-j)^n+(-j^2)^n])
 v(n):=1/3*(2^n+j*(-j)^n+j^2*(-j^2)^n)
 w(n):=1/3*(2^n+j^2*(-j)^n+j*(-j^2)^n)
 Donc on a :
 an=a0*u(n)+b0*w(n)+c0*v(n)
 bn=a0*v(n)+b0*u(n)+c0*w(n)
 cn=a0*w(n)+b0*v(n)+c0*u(n)
Prolongements
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
Soit an le nombre de parties de E de cardinal congru à 0mod3,
Soit bn le nombre de parties de E de cardinal congru à 1mod3,
Soit cn le nombre de parties de E de cardinal congru à 2mod3,
- 
Montrer que :
 an+bn+cn=2n.
- Montrer que :
 an=1+comb(n,3)+comb(n,6)+...
bn=comb(n,1)+comb(n,4)+comb(n,7)+...
cn=1+comb(n,2)+comb(n,5)+comb(n,8)+...
- En développant (1+X)n successivement pour X=1, X=j, X=j2, 
calculer an, bn, cn.
- Donner la valeur de a0, b0 et c0.
Calculer:
 an+1 en fonction de an et cn,
 bn+1 en fonction de bn et an,
 cn+1 en fonction de cn et bn
Et faire le lien avec l’exercice précédent.
 
- 
Soit n=3q+r avec 0≤ r<3.
 Le nombre de parties de E est 2n donc an+bn+cn=2n.
- Les parties de E de cardinal congru à 0mod3 sont de cardinal p
avec p∈ (0,3,6..3q)
Les parties de E de cardinal congru à 1mod3 sont de cardinal p
avec p∈ (1,4,7..3q−2) si r=0 ou p∈ (1,4,7..3q+1) si 0<r<3
Les parties de E de cardinal congru à 2mod3 sont de cardinal p
avec p∈ (2,5,8..3q−1) si r=0 ou r=1 ou p∈ (2,5,8..3q+2) si r=2
Donc
an=1+comb(n,3)+comb(n,6)+...comb(n,3q)
bn=comb(n,1)+comb(n,4)+comb(n,7)+...+comb(n,3q−2)+comb(n,3q+1)
cn=1+comb(n,2)+comb(n,5)+comb(n,8)+...+comb(n,3q−1)+comb(n,3q+2)
- On a :
 (1+1)n)=1+comb(n,1)+comb(n,2)+comb(n,3)+....+comb(n,n)
 (1+j)n)=1+j*comb(n,1)+j2*comb(n,2)+comb(n,3)+....+jn*comb(n,n)
 (1+j2)n)=1+j2*comb(n,1)+j*comb(n,2)+comb(n,3)+....+j2ncomb(n,n)
 On additionne ces égalités après les avoir mulltiplié successivement 
par :
 (1,1,1) puis par (1,j2,j) puis par (1,j,j2).
On obtient (puisque j3=1 et 1+j+j2=0) :
 3an=2n+(1+j)n+(1+j2)n
 3bn=2n+j2(1+j)n+j(1+j2)n
 3cn=2n+j(1+j)n+j2(1+j2)n
 
- On a :
 a0=1, b0=c0=0
 Quand on rajoute un élément α à E :
 parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 0mod3, il y en a an 
qui ne 
contiennent pas α et cn qui contiennent α donc
 an+1=an+cn,
 parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 1mod3 il y en a bn qui
ne contiennent pas α et an qui contiennent α donc
 bn+1=bn+an,
 parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 2mod3 il y en a cn qui
ne contiennent pas α et bn qui contiennent α donc
 cn+1=cn+bn,
 Donc an, bn, cn sont définies par :
 a0=1, b0=c0=0
 an+1=an+cn,
 bn+1=bn+an,
 cn+1=cn+bn
 On tape :
 simplify(exp2trig(pow2exp(seqsolve([x+z,y+x,z+y],[x,y,z,n],[1,0,0]))))
 On obtient :
 [(2^n+2*cos(n*pi/3))/3,
 (2^n-cos(n*pi/3)+(sqrt(3))*sin(n*pi/3))/3),
 (2^n-cos(n*pi/3)+(-(sqrt(3))*sin(n*pi/3))/3]
 
- On tape :
 
 On obtient :
 
 
- On tape :
 
 On obtient :
 
 
 
26.1  Exercices sur les séries
La commande sum de Xcas calcule les sommes de certaines séries.
Voici queques exemples :
On tape :
sum(1/2^n,n=0..inf)
On obtient :
2
On tape :
sum(n/2^n,n=0..inf)
On obtient :
2
On tape :
sum(1/(n*(n+1)),n=1..inf)
On obtient :
1
On tape :
sum(1/((2n+1)*(2n-1)),n=1..inf)
On obtient :
1/2
On tape :
sum(1/n^2,n=1..inf)
On obtient :
pi^2/6
On tape :
sum((-1)^(n+1)/n,n=1..inf)
On obtient :
ln(2)
On tape :
sum((-1)^n/(2n+1),n=0..inf)
On obtient :
pi/4
Exercices
- 
Montrer que :
 (1−x)*∑k=0nxk=1−xn+1
En déduire que :
Montrer que :
Application :
 Calculer : ∑k=0inf2−k,∑k=0inf3−k
- Soit un=n/2n. Monter que :
 4un+1<3un lorsque n>2
 En déduire que un tend vers 0 quand n tend vers +∞.
- pour ceux qui connaissent le critére de d’Alembert sur les séries 
à termes positifs,
 Calculer un+1/un (pour ceux qui connaissent le critére de 
d’Alembert sur les séries à termes positifs).
 En déduire que la série de terme général un est convergente.
- pour ceux qui ne connaissent pas le critére de d’Alembert,
 Montrer que limN−>∞∑k=0Nun existe et calculer sa valeur.
- Calculer la somme ∑k=0Nun.
 
On tape :
u(n):=n/2^n
factor(simplify(4u(n+1)-3u(n)))
On obtient :
(-n+2)/2^n
On a donc :
un+1/un<3/4
un+1/un=n+1/2n
Donc un+1/un tend vers 1/2 quand n tend vers 
+∞.
On tape :
limit(u(n+1)/u(n),n,inf)
On obtient :
1/2
Calcul de SN=∑n=0N un
SN=0+∑n=1N 1/2n+∑n=2N 1/2n+...∑n=kN 1/2n+..∑n=NN 1/2n.
Donc
SN=1+1/2N+1/2+1/2N+..1/2k+1/2N+1/2N
SN=∑k=1N1/2k+N/2N
Comme N/2N tend vers 0 quand N tend vers +∞, on en déduit
que :
SN tend vers ∑k=0∞1/2k=2.
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